tisdag 26 juli 2016

Matematiska strukturer i Turf del 1

Som mitt nick kanske skvallrar om är jag matematiker, närmare bestämt doktorand i algebra. För mig handlar matematik om att upptäcka mönster och samband och förklara dem i ord, formler och bilder på ett kompakt sätt som fortfarande går att förstås. En viktig del av matematik handlar om att identifiera vilka koncept som är så viktiga att de behöver egna namn och vilka namn som då är lämpliga.

Med jämna mellanrum kommer jag att publicera exempel på matematiska strukturer som återfinns i Turf. Dessvärre är HTML inte anpassat för matematik, så det kan bli väl många ord istället ibland.

Partiell ordning
En (total) ordning är en mängd saker där vi kan ställa upp dem från minsta till största. Vad "minst" och "störst" betyder är upp till ordningen. Vi kan till exempel ordna alla människor efter längd eller efter vikt eller efter avstånd till Globen eller...

Formellt är en total ordning ett par (X,<) av en mängd X och en jämförelse av saker i X så att
1 Om x<y så är inte y<x (anti-symmetri)
2 Om x<y och y<z så är x<z (transitivitet)
3 För varje x och y gäller exakt en av
     a) x<y
     b) y<x
     c) x=y

Det låter en smula torrt och abstrakt, men sammanfattar precis det vi vill säga när vi jämför saker utan restriktioner.

Naivt kan man tycka att alla totala ordningar ser likadana ut. Man kan ju rada upp alla saker från minsta till största och det täcker allt. Den idén fungerar så länge man pratar om ändligt många saker. När man har oändligt många saker finns det två problem:
-Det behöver inte finnas en minsta eller största sak. Vilket tal är större än alla andra tal?
-Det behöver inte finnas någon nästa, lite större, i uppräkningen, så att inget annat tal är större än det första men mindre än det andra. Vilket rationellt tal (bråktal) kommer efter 1/2 när man radar upp dem i storleksordning? 

Vi kan dock nöja oss med 1 och 2 och fortfarande få en meningsfull tolkning av "större än"/"bättre än". Låt oss anta att vi vill köpa den bästa datorn. Vi säger att en dator x är sämre än en dator y om
- x har långsammare CPU än y och
- x har mindre RAM än y och
- x har färre GB på hårddisken än y

Exemplet är lite hårddraget, men ändå realistiskt. Om vi kollar på de senaste modellerna är det osannolikt att någon dator både har snabbast CPU, mest RAM och mest GB. Däremot kommer varje rimlig dator på marknaden idag att vara bättre än varje rimlig dator på marknaden för tio år sedan. Vi säger att en ordning som uppfyller 1 och 2 är en partiell ordning.

Varje total ordning är förstås ett exempel på en partiell ordning. Å andra sidan kan vi ha en partiell ordning där inga saker är större eller mindre än några andra saker.

Partiella ordningar i Turf
Det finns några totala ordningar (bortsett från problem med exakt lika värden) i Turf, varav många finns på diverse topplistor på turfgame.com och warded. Exempel är
-högre totalpoäng (av turfare)
-fler tagna zoner (av turfare)
-fler unika turfare (av zoner)
-nickname, alfabetisk ordning (av turfare)
-datum för första tagning (av turfare)
-snabbaste bäver (av turfare)
-flest sessioner (av turfare)

Alla exempel där man bara jämför ett tal ger upphov till totala ordningar. Jag tycker att det ger för lite information och vill titta närmare på datan. Därför föreslår jag följande partiella ordningar, samtliga på turfare.

Vi säger att en turfare y är medalj-bättre än en turfare x om y har varje medalj som x har samt minst en medalj som x inte har. Vi säger att en turfare y är starkt medalj-bättre än en turfare x om y är medalj-bättre än x och har minst lika många av varje medalj som x (för medaljer som (bonanza-)guld, silver, koppar, eventor, ...).

Vi säger att en turfare y är zonunika-bättre än en turfare x om y har tagit varje zon som x har tagit samt minst en medalj som x inte har tagit. Vi säger att y är starkt zonunika-bättre än en turfare y om den har minst lika många takes på varje zon och fler takes på minst en zon.

 På samma sätt kan man göra med unika turfare (takes från eller till) eller regioner.

Låt oss titta närmare på zonunika-bättre. Den goda nyheten är att nästan alla som har turfat ett tag är bäst, i den bemärkelsen att de inte har någon som har tagit alla zoner de har tagit samt ytterligare någon. Jag är nyfiken på vad den längsta kedjan x<y<z... är när man jämför zonunika. Det skulle förvåna mig om den innehåller särskilt många turfare. Den skulle kunna se ut så här

N00bzor (lvl 1): Har bara tagit Plattan
iTurfer367876297 (lvl 2): Plattan och Slussen
Newb1e (level 3): Har tagit alla zoner från Plattan till Slussen
Söderkisen (level 10): Har tagit de flesta zonerna innanför tullarna
Überturfer (lvl 42): Har tagit alla zoner innanför tullarna samt flera hundra i tjugo regioner.

Min poäng är att det inte går att säga vilken som är den bäste turfaren. Man kan dock säga att vi har en hårt kämpande elit, som ligger i topp i alla mina lite mer differentierade jämförelsemått.

Bonus: pre-order
Vi har egentligen fuskat lite ovan. Vad händer då två turfare har exakt lika många totalpoäng? För att vi ska ha en total ordning måste vi säga att en av dem ändå kommer före den andra. En annan lösning är att tillåta att två eller fler saker delar på en position. Vi låter symbolen ~ betyda att de delar position. Vill man (som jag) skriva ut i klartext vad man menar så blir det ungefär så här. En pre-order är en relation <~ (utläses "maximalt så bra som") på en mängd saker X så att
1 Alla saker är maximalt så bra som sig själva, dvs x<~x
2 Om x är maxialt så bra som y och y är maximalt så bra som z så följer att x är maximalt så bra som z, dvs x<~y och y<~z medför x<~z

Om vi kommer ihåg kraven för en partiell ordning så ser vi att varje partiell ordning är en pre-order. Vi kan lägga till ett krav till om vi vill karakterisera en topplista med möjlighet till delad plats:
3 Alla saker är jämförbara, dvs för varje par av saker x och y så gäller x<~y eller y<~x.

Dess värre vet jag inte vad en sådan ordning kallas, men vi kan kalla den för en poängordning.